[수학] 완전 미분방정식 (1/2)

  완전 미분방정식의 개념을 간단한 예를 들어서 설명하도록 하겠다. 독립변수 $x$와 종속변수 $y(x)$ 에 대한 등식 $e^{2x}y+c=0$을 예로써 고려해 보자. 여기서 $c$는 상수이다. 이 등식의 양변을 $x$ 로 미분하면 다음과 같을 것이다.
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \{ e^{2x}y+c \}=0 \label{eq1}
\end{equation}
좌변을 곱함수의 미분 공식을 써서 풀면 다음과 같다.
\begin{equation}
2e^{2x}y+e^{2x}y'=0 \label{eq2}
\end{equation}
이것은 1계 상미방이 되는데 \eqref{eq1}과 동일한 식이다. 즉 \eqref{eq2}의 미분방정식이 처음에 먼저 주어졌을 때 이것이 \eqref{eq1}식과 같다는 것을 알아낼 수 있다면 \eqref{eq1}의 양변을 $x$로 적분하여 $e^{2x}y+c=0$라는 해(즉, $y=-ce^{-2x}y$)를 쉽게 구할 수 있다.

  이것을 좀 더 일반적으로 기술해 보자. 독립변수 $x$와 종속변수 $y(x)$에 대한 어떤 이변수 함수 $u(x,y)$에 대해서 다음 등식이 성립한다고 가정하자.
\begin{equation}
u(x,y)=0 \label{eq3}
\end{equation}
이것의 양변을 $x$에 대해서 미분하면 다음과 같다.
\begin{equation}
\frac{d}{dx}\{ u(x,y) \}=0\label{eq4}
\end{equation}
이 식의 좌변은 함수 $u(\cdot)$가 이변수 함수이기 때문에 $x$에 대한 전미분은 각각의 변수에 대한 편미분을 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}y'=0\label{eq5}
\end{equation}
여기서 $\frac{\partial u}{\partial x}$는 함수 $u(x,y)$의 $x$에 대한 편미분이며 이것 역시 $x$와 $y$의 함수이고 $\frac{\partial u}{\partial y}$는 함수 $u(x,y)$의 $y$에 대한 편미분이다. 따라서 \eqref{eq5}와 같은 미분방정식이 주어지면 함수 $u(x,y)$를 구해서 쉽게 일반해 \eqref{eq3}를 구할 수 있다. 이와 같은 미분 방정식 \eqref{eq5}를 완전 미분방정식이라고 하고 이것은 \eqref{eq4}와 같은 단순한 형태와 동일식이므로 쉽게 그 해를 구할 수 있다.

  그런데 문제는 어떤 미분방정식이 주어졌을 때 이것이 완전한가를 어떻게 알아낼 수 있는가이다. 예를 들어서 \eqref{eq2}가 주어졌을 때 이것이 완전 미분방정식인가를 어떻게 확인할 수 있을까가 문제이다. 식 \eqref{eq2}와 식 \eqref{eq5}를 비교했을 때 다음과 같은 등식이 성립하면 된다는 것을 알 수 있다.
\begin{eqnarray}
\frac{\partial u}{\partial x}&=&2e^{2x}y \label{eq6}\\
\frac{\partial u}{\partial y}&=&e^{2x} \label{eq7}
\end{eqnarray}
하지만 현 단계에서는 함수 $u(x,y)$를 알 수 없으므로 이 등식들이 성립하는지도 알 수 없지만 \eqref{eq6}를 $y$에 대해서 한 번 더 편미분하고 \eqref{eq7}를 $x$에 대해서 한 번 더 편미분하면 다음과 같다.
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial u}{\partial x}&=&2e^{2x} \label{eq8}\\
\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}&=&2e^{2x} \label{eq9}
\end{eqnarray}
위 두 식의 좌변은 서로 같으므로 우변도 서로 같아야 \eqref{eq6}과 \eqref{eq7}이 만족되는 것이다. 이 예제의 경우는 \eqref{eq8}과 \eqref{eq9}의 우변이 서로 같다. 따라서 \eqref{eq2}는 완전 미분방정식이라는 결론을 얻는다.

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