[수학] 완전 미분방정식 (2/2)

  이전 포스트의 내용을 일반식으로 정리해 보자. 다음과 같은 1계 상미분방정식이 주어졌다고 가정해보자.
\begin{equation}
M(x,y) + N(x,y)y' = 0 \label{1}
\end{equation}
이 미분방정식이 완전 미분방정식이려면 다음과 같은 조건이 만족되어야 한다.
\begin{equation}
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \label{2}
\end{equation}
이 조건은 \eqref{1}이 완전 미분방정식일 필요충분조건이며 (증명 생략) 이로부터 다음이 성립하게 된다.
\begin{eqnarray}
M(x,y)&=&\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} \label{3} \\
N(x,y)&=&\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} \label{4}
\end{eqnarray}

다음 단계로는 함수 $u(x,y)$를 구하는 것인데 이것은 \eqref{3}과 \eqref{4}에서 쉽게 수행할 수 있다. 즉,
\begin{equation}
u(x,y)=\int M(x,y) dx + l(y) \label{5}
\end{equation}
또는

\begin{equation}
u(x,y)=\int N(x,y) dy + k(x) \label{6}
\end{equation}

이다. 이 두 식 중에서 어느 것을 사용해도 무관하므로 적분식이 좀 더 간단한 식을 선택하는 것이 계산상 유리할 것이다. 그리고 \eqref{5}에서 $y$에 대한 함수 $l(y)$가 적분 상수임을 주의해야 한다.